数值分析作业(第二章) - 下载本文

数值分析作业(第二章)

习题

1. 当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 (1)用单项式基底; (2)用拉格朗日插值基底; (3)用牛顿基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解:(1)假设f(x)的二次插值多项式为:f(x)?a2x2?a1x?a0

由于 x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4

则有 a2?a1?a0?0;a2?a1?a0??3;4a2?2a1?a0?4

537;a1?;a0?? 623537则有 f(x)?x2?x?

623求得 a2?(2)用拉格朗日插值基底: 由于 x0?1,x1??1,x2?2,

f(x0)?0,f(x1)??3,f(x2)?4;

则有 l0(x)?(x?x1)(x?x2)1??(x?1)(x?2)

(x0?x1)(x0?x2)2(x?x0)(x?x2)1?(x?1)(x?2)

(x1?x0)(x1?x2)6(x?x0)(x?x1)1?(x?1)(x?1)

(x2?x0)(x2?x1)3l1(x)?l2(x)?拉格朗日插值多项式为:

L2(x)??yklk(x)?f(x0)l0(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)

k?02 ?5237x?x? 6235237x?x? 623则f(x)二次插值多项式为:L2(x)?(3)采用牛顿基底: 均差表如下所示: Xi 1 -1 2 f(xi) 0 -3 4 则有牛顿插值多项式为:

一阶均差 3/2 7/3 二阶均差 5/6 N2(x)?f(x0)?f?x0,x1?(x?x0)?f?x0,x1,x2?(x?x0)(x?x1) ?5237x?x? 6235237x?x? 623则f(x)二次插值多项式为:L2(x)?由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。

5. 设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证:

1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8解:令x0?a,x1?b,以此为插值节点,则线性插值多项式为

L1(x)?f(x0)x?x1x?x0 ?f(x1)x0?x1x?x0x?bx?a?f(b) a?bx?a ?f(a)因为 f(a)?f(b)?0 所以 L1(x)?0

插值余项 R(x)?f(x)?L1(x)?因为 f(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 21f??(x)(x?x0)(x?x1) 221并且 (x?x0)(x?x1)???(x?x0)?(x1?x)??

411 ?(x1?x0)2?(b?a)2

44所以有maxf(x)=maxa?x?ba?x?b1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2f??(x)(x?x0)(x?x1) 2=maxa?x?b1 ?(b?a)2maxf??(x).

a?x?b86. 在?4?x?4上给出f(x)?ex的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10?6,问使用函数表的步长h应取多少? 解:假设插值节点为xi?1,xi和xi?1,

则分段二次插值多项式的插值余项R(x)为

1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1) 3!1进而有 R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)

?4?x?46R2(x)?假设步长为h,即xi?1?xi?h,xi?1?xi?h

1则有 R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)

?4?x?46123343?e4?h?eh. 62733当截断误差不超过10?6时,则有:R2(x)?10?6 即有

343eh?10?6 27 h?0.0065.

因此使用函数表的步长h满足h?0.0065. 13. 求次数小于等于3的多项式P(x),使之满足条件 P(x0)?f(x0) , P'(x0)?f'(x0)

P''(x0)?f''(x0) , P(x1)?f(x1)

解:由题目中插值条件

P(x0)?f(x0),P'(x0)?f'(x0),P''(x0)?f''(x0),P(x)的次数小于等于3,则

可设 P(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)? 由于 P(x1)?f(x1)

1''f(x0)(x?x0)2?A(x?x0)3, A为常数。 2 则有 f(x1)?f(x0)?f'(x0)(x1?x0)?1''f(x0)(x1?x0)2?A(x1?x0)3 2常数A满足 A?f(x1)?f(x0)?f'(x0)(x1?x0)?(x1?x0)31''f(x0)(x1?x0)22

?f?x0,x1??f'(x0)1''?1???f(x0)?

x?x2x?x10??10因此可得多项式P(x)为

?f?x0,x1??f'(x0)1''?(x?x0)31''2P(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?f(x0)(x?x0)???f(x0)?2x1?x02??x1?x0'16. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P?(0)?0,

P(1)?P?(1)?1,P(2)?1。

解:由埃米尔特插值进行计算:

由题目分析可知

x0?0,x1?1;y0?0,y1?1;m0?0,m1?1 由于 H3(x)?y0?0(x)?y1?1(x)?m0?0(x)?m1?1(x) 又由于 ?0(x)?(1?2x?x0x?x12)()?(1?2x)(x?1)2 x0?x1x0?x1?1(x)?(1?2x?x1x?x02)()?(3?2x)x2 x1?x0x1?x02?x?x1?2?0(x)?(x?x0)???x(x?1)

?x0?x1??x?x0?2?1(x)?(x?x1)???(x?1)x

?x1?x0?2因此有 H3(x)?(3?2x)x2?(x?1)x2??x3?2x2 设P(x)?H3(x)?A(x?x0)2(x?x1)2,A为待定常数

由于 P(2)?1

并且 P(x)??x3?2x2?Ax2(x?1)2 则有 A?1 4进而 P(x)??x3?2x2?P(x)?12139x(x?1)2?x4?x3?x2 442412x(x?3)2 420. 给定数据表如下:

Xj Yj 0.25 0.5000 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 试求三次样条插值S(x),并满足条件: (1)S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; (2)S??(0.25)?S??(0.53)?0. 解:由表格分析有

h0?x1?x0?0.05,h1?x2?x1?0.09 h2?x3?x2?0.06,h3?x4?x3?0.08 由于 ?j?所以 ?1?由于 ?j?所以 ?1?hj?1hj?1?hj;

533,?2?,?3?,?4?1; 1457hjhj?1?hj

924,?2?,?3?,?0?1 1457由于 f?x0,x1??f(x1)?f(x0)?0.9540;f?x1,x2??0.8533

x1?x0f?x2,x3??0.7717;f?x3,x4??0.7150

(1)由于 S?(x0)?1.0000,S?(x4)?0.6868





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